Dinamik sistem teorisi 5
Bir önceki yazımda katsayılar matrislerini kullanarak doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemlerin nasıl kompakt bir şekilde gösterilebileceğini görmüştük. Özellikle girdi-durum-çıktı gösterimi ilgilendiğimiz ve ağırlık verdiğimiz konular arasındaydı.
Bugün, genellikle fiziksel sistemlerin tanımlanmasında kullanılan ve diferansiyel denklemler barındıran girdi-çıktı gösteriminden, sistemleri kompakt bir şekilde tanımlamamıza ve sistem özelliklerini kolay bir şekilde elde etmemize yarayan girdi-durum-çıktı gösterimine nasıl geçeriz onu görelim.
Günlük hayatımızda fiziksel sistemleri tanımlarken genellikle girdi-çıktı gösterimi kullanılır, ancak bu gösterimi kullanarak sistem özelliklerini tanımlamak, girdi-durum-çıktı gösterimini kullanarak tanımlamaktan daha zordur. Bu yüzden girdi-çıktı gösteriminden, girdi-durum-çıktı gösterimine geçebilmek oldukça önemlidir.
Buna konuyu görmeden önce, bir sistemde durum matematiksel olarak bize ne belirtir onu görelim.
Bir sistemin durumu matematiksel olarak ne belirtir?
Sizlere bir sistemde durum x(t) nedir bunu farklı yollar kullanarak anlatabilirim, ancak belki de bu yollardan en anlaşılır olanı, durumu matematiksel olarak incelemektir.
Herhangi bir diferansiyel denklem düşünelim, genellikle diferansiyel denklemlerin çözümü için bize bilinen bir terim verilir. Bizim durumumuzda bunu u(t), yani girişimiz olarak kabul ediyoruz. Bizden bu diferansiyel denklemin integralinin istendiğini ve bir çözümün var olduğunu varsayalım. Cevap vermemiz gereken soru şudur: Bu durumda diferansiyel denklemin çözümünü bulabilmek için gerekli olan bir diğer koşul nedir?
Diferansiyel denklemin integralini almak istiyorsak mutlaka ve mutlaka başlangıç koşullarını bilmemiz gerekmektedir. O halde bir sistemde durum dediğimiz kavram başlangıç koşullarını belirtmek için kullanılması gereken herhangi bir değişkendir. Bir diğer değişle herhangi bir sistemin başlangıç koşulunu tanımlamak için bir dizi başlangıç koşuluna ihtiyacınız vardır, ihtiyacınız olan koşulları sağlayan belirli sayıdaki değişkenler, durumu temsil etmektedirler.
Girdi-Çıktı gösteriminden Girdi-Durum-Çıktı gösterimine geçiş
Girdi-çıktı gösterimini hatırlayalım:
Görselde bulunan u(t) değişkeni yazımın başlarında da söylediğim gibi bilinen terim olduğu için, başlangıç koşullarını y(t) değişkenine uygulamalıyız. Başlangıç koşullarını sağlayan belirli sayıdaki değişkenler durumu temsil ettiğinden ve durum değişkenlerini de x(t) olarak tanımladığımızdan dolayı, y(t) değişkenlerinin belirli bir t zamanındaki başlangıç koşullarını şu şekilde yazabiliriz:
NOT: Aslında başlangıç koşullarını istediğimiz şekilde seçebiliriz, burada yaptığımız seçim, çoğu olası seçenekten sadece biridir. Sistemler için girdi ve çıktı değişmeyeceğinden dolayı, girdi-çıktı gösterimi tek bir adet iken, sistemlere bağlı olan girdi-durum-çıktı gösterimleri sonsuz sayıdadırlar.
NOT: Başlangıç koşulları olasıdır. Yazdığımız değişkenlerden bazıları başlangıç koşulu olabilirken bazıları olmayabilirler.
Sistemin mertebesi, maksimum türev sayısına bu da sistemin durum değişkeni sayısına eşittir.
Tüm bunları göz önünde bulundurarak girdi-çıktı gösteriminden, girdi-durum-çıktı gösterimine aşağıda bulunan dört adımı uygulayarak geçebiliriz:
- Sistemin diferansiyel denklemlerini yazalım.
- Sebep-sonuç ilişkisini kullanarak sistemde bulunan girişi ve çıkışı belirleyelim. Genellikle sistemin giriş değişkenleri, çıkış değişkenlerine oranla daha az türevi alınmış değişkenlerdir.
- Durum değişkenlerinin sayısını ve hangi durum değişkenlerini kullanacağımızı belirleyelim. Öncelikle kaç adet olduklarını ve sonra hangilerinin durum değişkeni olabileceğine bakmalıyız. Sayılarını bulabilmek için u(t) değişkenleri hariç sistemde bulunan maksimum türev sayısına bakalım. Maksimum türev sayısı bize durum değişkeni sayısını verecektir. Yukarıdaki eşitlikleri kullanarak her durum değişkenini başlangıç koşullarına eşitleyelim.
- Bulmuş olduğumuz değişkenlerin tümünü aşağıda bulunan formattaki gibi yazalım:
Yani her durum değişkeninin türevini alıp, eşitlikte solda tek kalacak şekilde yazıyoruz. Eşitliğin sağında kalan değerlerde türev altında hiçbir değişken bulunmamalıdır. Eğer bir tek değişkenin dahi türevi alınmış ise dört aşamadan birinde hata yapmışız demektir.
Tüm bunları uyguladıktan ve sistemimizdeki çıkışları da belirttikten sonra girdi-durum-çıktı gösterimini elde ederiz:
Yazılarımdan haberdar olmak için beni takip edebilirsiniz, ayrıca alkış butonuna basarak bana destek olabilirsiniz. Bir sonraki derste görüşmek üzere.
