Dinamik sistem teorisi 1
Sistem nedir?
Sistem bazı özelliklerin bir araya geldiği soyut bir kavramdır. Bu ders boyunca zaman değişkenine göre değişiklik gösteren soyut objelerle ilgileneceğiz. Tüm ders boyunca bağımsız olan tek değişkenimiz zaman (t) olacak.
Sistemler farklı türlerde olabilirler, örneğin ekonomik sistem, fiziksel sistem vs. Kontrol ve otomasyon mühendisleri genellikle fiziksel sistemlerle ilgilenirler. Fiziksel sistem denilince aklınıza en basitinden fizik derslerinde görülen pendulum (sarkaç) getirebilirsiniz. Dikkat ederseniz pendulum fiziksel bir objedir, ancak ona bağlı olan hareket yasaları, denklemler tamamen soyut kavramlardır.
O halde bize objelerden elde edilen matematik modelleri verilecek ve bu matematik modelleri bize objelerin işleyişlerini, zaman içerisinde nasıl davrandıklarını söyleyecekler ve tüm bunlar bizim sistemimizi oluşturacaklar. Şematik bir gösterimi basitçe şu şekildeki gibidir:
Yönelimli (Oriented) soyut model nedir?
Bu ders boyunca yönelimli soyut modelleri inceleyeceğiz. Yönelimli soyut modeller sebep-sonuç ilişkisini sağlayan modellerdir. Hayatımızda olan olayları düşündüğümüzde her sonucun bir sebebi vardır değil mi? İşte bu özellik modeller için de geçerlidir. Doğada gerçekleşen olayları düşünelim sonuç hiçbir zaman sebepten önce gelmemeli ve gelemez. Bunu hipotez olarak benimseyeceğiz.
O halde bu hipotezi matematiksel ve sistemsel düzlemde uygularsak, modellerimizde bulunan sebepleri modellerimizin girişleri (u) ve modellerimizde bulunan sonuçları da modellerimizin çıkışları (y) olarak konumlandırabiliriz. Sonuç olarak modellerimiz şu şekli alırlar:
NOT: u ve y’nin zamanın fonksiyonu olduğuna dikkat edelim.
Görüldüğü üzere sebep-sonuç ilişkisi olan modellerde her zaman bir giriş ve bir çıkış belirlenebilmektedir.
u(t) ve y(t) değişkenleri sistemimizi tanımlayabilmemizde önemli rol oynarlar ancak bu iki değişkenin yanı sıra bir üçüncü değişkene daha ihtiyaç duyarız. Çoğu zaman modelin içerisinde olup biten olaylardan haberdar olmak isteriz, öyle ki bazı modeller kendi içlerinde enerji depolayabilir ve sonuç olarak modeli her çalıştırdığımızda y(t) üzerinde aynı değeri okumayı beklerken farklı değerler okuyabiliriz. Örneğin içerisinde kondensatör olan bir model düşünelim, bu modeli her çalıştırdığımızda kondensatör denklemlerine bağlı olarak model içerisinde belirli bir düzeyde enerji depolanır. Bu tür modeller sanki hafızaları varmış gibi davranırlar, önceden olan olayları belleğe alırlar gibi de düşünebiliriz.
Yani modelin iç durumunun evrimini göz ardı edersek sistemi aslında doğru bir şekilde tanımlamamış oluruz, bu nedenden dolayı üçüncü değişkenimiz olan x(t) değişkenini de modelin iç durumunun evrimini gösteren bir değişken olarak atarız.
O halde sırasıyla şu değişkenleri kullanarak:
u(t)=Modelin girişi
y(t)=Modelin çıkışı
x(t)=Modelin iç durumunun evrimi
sistemimizi tanımlarız.
NOT: Yukarıda kullandığım model ve sistem kelimeleri çok önemlidir, zira model herhangi bir model olabilir. Ancak bir modelin sistem olabilmesi için sebep-sonuç ilişkisi, u(t), y(t) ve x(t) tanımlı olmalıdırlar.
O halde şu sonucu elde ederiz:
Bir sistemde çıkış değişkeni olan y(t), giriş değişkeni olan u(t) ve sistemin iç durumunun evrimi olan x(t)’ye bağlıdır.
Sistemimizin görsel hali bu şekilde olacaktır:
Yazılarımdan haberdar olmak için beni takip edebilirsiniz, ayrıca alkış butonuna basarak bana destek olabilirsiniz. Bir sonraki derste görüşmek üzere.
